已知函数f（x）=x^3+ax^2+bx+3(a)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/31 12:22:15
若函数f（x）在x=1处取得极大值，且在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围

先求f(x)的导数为
f'(x)=3x²+2ax+b
x=1是极值点，所以f'(1)=0
故3+2a+b=0，得b=-3-2a
又因为函数在[2，+∞）上递增，所以有f'(2)≥0
即12+4a+b≥0，将b=-3-2a代入得
2a+9≥0
a≥-9/2

f”(x)=3x^2+2ax+b,
x=1处取得极大值,
f”(1)=3+2a+b=0,
b=-2a-3,
要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，
只要f”(x)=3(x+a/3)^2-a^2/3-2a-3>0，
在[2，+∞）上恒成立。
当-a/3<2,即a>-6时，
f”(2)>0, a>-9/2.
当-a/3≥2,即a≤-6时，
f” min＝ f”(-a/3)＝-a^2/3-2a-3>0
无解。
综上，
a的取值范围（－9/2，＋∞）。